1A flight or service (as a suffix) — used to refer to scheduled flights or services, e.g. a flight number.
成田行きの最終便に間に合わなかった。
I missed the last flight to Narita.
JALの123便は予定より30分遅れている。
JAL flight 123 is 30 minutes behind schedule.
あの航路は季節によって便数が変わる。
The number of services on that route changes with the seasons.
2Mail or delivery service — referring to postal or shipping methods, e.g. air mail or sea mail.
船便で送った荷物は到着に時間がかかる。
Items sent by sea mail take time to arrive.
重要な書類は速達便で出してください。
Please send important documents by express mail.
3An opportunity or chance — used, somewhat old-fashioned, to indicate a convenient occasion for doing something.
田中さんに会う便があったら、これを渡してください。
If you get the chance to see Mr. Tanaka, please give this to him.
何かの便に、あちらの様子を伝えてください。
Whenever you get the chance, please let them know how things are going here.