1To refuse or decline (an offer, request, invitation, etc.).
彼は私の誘いをはっきり断った。
He clearly refused my invitation.
会社はその条件を断った。
The company rejected those terms.
断るときは相手の気持ちを考えて言葉を選ぶべきだ。
When refusing, you should choose your words with the other person's feelings in mind.
2To inform in advance or give notice; to ask for permission in advance (i.e., notifying/obtaining approval).
出張する前に上司に断っておいた。
I informed my boss beforehand before going on a business trip.
旅行の予定は家族に断ってから決めたほうがいい。
You should decide travel plans after informing your family first.
会場使用は事前に管理者に断る必要がある。
You need to notify the administrator in advance to use the venue.
3To ask for leave or excuse oneself (from an event, meeting, etc.).
授業を休むときは先生に断ってください。
If you will be absent from class, please ask the teacher for permission.
会議を途中で抜ける場合は幹事に断ってから出る。
If you need to leave the meeting early, notify the organizer before you go.